[地球表面海陆面积比例] 地球表面海路面积比例

1.4 球的体积和表面积

　　一、选择题

1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（ ）

A．2倍 B．3倍 C．4倍 D，8倍

2．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是（ ）

A． B． C． D．2πc2

3．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是（ ）

A． B． C．4π D．

4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ ）

A．4倍 B．8倍 C．16倍 D．32倍

5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（ ）

A、1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍

6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（ ）

A．4π B． C． D．π

7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm，两个直径都是5 cm的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（ ）

A、cm B．cm C．cm D．cm

8．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积为（ ）

A、π B．π C．4π D．π

9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ）

A．20π B．25π C．50π D．200π

10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（ ）

A．S球＞S正方体 B．S球＝S正方体

C．S球＜S正方体 D．大小关系不确定

二、填空题

11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V1、V2、V3，则V1＋V2＝_____V3．

12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l，则球的体积为_________．

13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中，容器水面升高cm，则玻璃球的半径为__________．

14．将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．

15．表面积为Q的多面体的每个面都外切于半径为R的一个球，则多面体与球的体积之比为______．

16．国际乒乓球比赛已将"小球"改为"大球"，"小球"的外径为38 mm，"大球"的外径为40 mm，则"小球"与"大球"的表面积之比为__________．

三、解答题

　　17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为的小球？

　　18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm，高度为5 cm，该西瓜体积大约有多大?

　　19．三棱锥A－BCD的两条棱AB＝CD＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．

20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．

参考答案

一、选择题

1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 9．C 10．C

二、填空题

11．

提示：三个球半径之比为1∶2∶3，体积为1∶8∶27．

12．36π

设球的半径为R，由题意得－＝1，

∴R＝3，∴V球＝＝36π．

13．4cm 14． 15．Q∶4πR2 16．361∶400

三、解答题

17．设球半径为R，则＝，∴R＝．而正三棱柱底面内切圆半径r＝，比较R与r的大小，R6＝＝＝·，r6＝＝＝·，

∴R6＞r6，∴R＞r，所以不能放进一个体积为的小球．

18．解：如图，设球半径为Rcm，切下的较小部分圆面半径为15cm，∴OO′＝R－5．

Rt△OO′A中，R2－（R－5）2＝15，

∴R=25（cm）．

V＝＝＝（cm3）．

19．设球半径为R，三棱锥A－BCD表面积为S，则V三棱锥＝．取CD中点M，连结AM、BM．

∵AC＝AD＝5，∴CD⊥AM．

同理CD⊥BM，∴CD⊥平面ABM，

∴V三棱锥＝（CM＋MD），S△AMB＝2S△AMB．

∵AM＝BM＝4，取AB中点N，连结MN，

则MN⊥AB，且MN＝＝，

∴S△ABM＝，∴V三棱锥＝．

又三棱锥每个面面积和都为12，

∴S＝4×12＝48，∴V三棱锥＝＝16R．

20．解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a，

∵4πR2＝324π，∴R＝9，

∴142＋（）2＝182，∴a2＝64，∴a＝8．

∴S四棱柱＝2a2＋4a·14＝64×2＋32×14＝576．

课题：球的体积和表面积

课题： 球的体积和表面积

课 型：新授课

一. 教学目标

1.知识与技能 ⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2.过程与方法[来源:学+科+网] 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝4πR3和面积公3

式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

3.情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具

１．

骤。

２．

四. 教学设计 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步教学用具：多媒体课件

（一） 创设情景

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。 ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（二） 探究新知

1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也 1

近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。[来源:学&科&网Z&X&X&K]

步骤：

第一步：分割

如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近 似为R，底面是“小圆片”的底面。 n

如图：

得

RR3i12Viri[1(]　　(i1、２n) nnn2

第二步：求和

1(112Ｖ半球＝v1v2v3vnR[1] 63

第三步：化为准确的和

当n→∞时， n→0 （同学们讨论得出）

3所以 Ｖ半球＝R(1122R3 63

Ｖ球4R3 3

3得到定理：半径是Ｒ的球的体积练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm)

2．球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

半径为R的球的表面积为

2

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元）

（三）体积公式的实际应用：

例①：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. （钢密度7.9g/cm3） 讨论：如何求空心钢球的体积？

→ 列式计算 → 小结：体积应用问题.

[来源:学科网]

② 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内

个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，

容器中水的深度.

[来源:学§科§网]

③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的

积也是圆柱全面积的

五、课堂小结：

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。

六、作业：1、P28 练习1、2、3

2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为，表面积比为。

（答案：3:1 ； 3 ：1）

⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm和400πcm，求球的表面积。 （答案：2500πcm）

222放入一求此时2 ，球的表面32. 3

3

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