甲乙两人同时解方程组|同解方程组怎么求

甲乙两人分别从AB两地出发

甲乙两人分别从AB两地出发,相向而行,出发时他们的速度比是4:3,他们相遇后,甲的速度加10%,乙的速度减20%,这样当甲B地时,乙离A地还有26千米.求两地的距离 相遇时，甲乙的路程比等于速度比4：3 即甲行了全程的4/7，乙行了全程的3/7 相遇后，甲乙的速度比是 4*（1+10%）：3*（1-20%）=11：6

设两地的距离 为X千米，得

3/7X：（4/7X-26）=11：6

解得X=77千米

继续追问： 11:6是怎样写出来的我还不明白请您指教谢谢

补充回答： 相遇后,甲的速度加10/100,乙的速度减20/100

4*（1+10%）：3*（1-20%）=11：6

不好意思，少打了个%

甲、乙两人分别从A、B两地出发相向而行,出发是他们的速度比是4:3，他们相遇后，甲的速度提高了1/4,乙的速度提高了1/3，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有480米，A、B两地相距多少米？

相遇时，甲行全程 4÷（4+3）=4/7，

剩 1－4/7=3/7

相遇后甲乙速度比是 4×（1+1/4）:3×（1+1/3）= 5:4

甲行这3/7时，乙行 3/7÷5×4=12/35

相遇时乙已行 3÷（4+3）=3/7

甲到达B地时，乙共行 12/35+3/7=27/35

剩 1－27/35=8/35

实际剩 480 米

所以全程的 8/35是480米

所以全程是 480÷8/35=2100 米

即：A、B两地相距2100米

甲乙两人分别从AB两地出发，相向而行，出发是他们的速度比是4比3。他们相遇后，甲继续行驶2个小时到达B地，那么乙到A地需要多少时间？

解：甲乙第一次相遇

甲行了全程的4/7，乙行了全程的3/7

那么甲到B地，行了3/7，用了2个小时，甲的速度为（3/7）/2=3/14

所以乙的速度为3/14×3/4=9/56

乙到达A地需要（4/7）/（9/56）=32/9小时

A、B两地相距60千米,甲乙两人分别从AB两地骑车出发相向而行,甲比乙迟出发20分钟,每小时比乙多行3千米，在甲出发后1小时40分钟两人相遇，求甲乙两人的速度是多少

设乙的速度为X千米/小时，则甲的速度为（X+3)千米/小时，根据题意可以得到 5/3(X+3)+2X=60 解得X=15

所以乙的速度为15千米/小时，甲的速度为18千米/小时

设甲速度为v,则有:60=(5/3)v+(5/3 + 1/3)(v-3)

66=(11/3)v

v=66(千米/小时)

方程组巧解

　　二元一次方程组的解法是学生必须掌握的一项基本技能，解题时应教会学生仔细观察题目的特点，抓住方程的结构特征或某种规律，联想不同的解题方法和技巧.通常情况下，有的教师总认为只有通过重复，机械的练习才能获得这一技能.而重复机械的练习常常使学生觉得枯燥乏味，反而影响了学生对数学的学习态度与情感.怎样才能让学生更好地学习与掌握这一基本技能，并在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展呢？

　　在学生们学完了用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组后，我进行了一次大胆的尝试.

　　上课铃响了，我一如既往地走进教室：“同学们，上面我们学习了二元一次方程组的解法.今天我们来上一节复习课.”一听是复习课，学生立刻缺少了往日的热情.

　　“解二元一次方程组的基本思路是什么？”

　　“消……元……”几个学生懒洋洋地回答道.这时，我在幻灯片上展出解方程组

　　3x+4y=10 ①12x-9y=15 ②

　　稍做停顿，我灵机一动：“今天，我们只解一道题.”

　　话音刚落，许多学生都惊奇地抬起了头.看来这出其不意的一招奏效了.

　　“咳，这个简单……我来做，我来做.”学生甲举起了手.于是他顺理成章地上了讲台.他用的是加减法.

　　解法1：①×4得：12x+16y=40③

　　③-②得：25y=25，y=1，将y=1代入①，求得x=2，

　　∴方程组的解为

　　x=2y=1

　　紧接着，我问：“这个题目还有没有其他方法呢？”“有，代入法.”学生乙大声说.既而，响起了更多的唏嘘声：“麻烦死了……”我决定支援一下乙：“用代入法可不可以解？”这回，唏嘘声轻了些：“可以是可以，就是麻烦.”“那你有没有办法使它简单一点呢？”我笑着追问.“哦！我知道了……”“乙，你知道什么了？”

　　解法2：“因为第2个方程中x的系数是第1个方程中x的系数的4倍，故用整体代入法，将3x看做一个整体.由①得3x=10-4y代入②从而得解.”

　　“对呀，我怎么没想到……”这时有些学生懊恼，有些学生羞愧，有些学生羡慕.

　　“学生们唧唧喳喳地讨论开了.从他们满意的神情中，我看出了他们还是很愿意接受挑战的.几分钟后，学生们开始陈述自己的观点.

　　解法3：将3x+4y看做一个整体

　　将②代为12x+16y-25y=15

　　4（3x+4y）-25y=15

　　∵①为3x+4y=10整体代入上式

　　4×10-25y=15由此得解y=1

　　这是一种巧妙的换元.

　　解法4：观察方程②，化为4x-3y=5 ③

　　3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

　　①×3+③×4

　　得25x=50 x=2

　　虽然没有比上述各解法简单，巧妙，但这是解此类方程组的常规方法.

　　解法5：观察方程②，化为4x-3y=5 ③

　　3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

　　①+③得7x+y=15由此代为y=15-7x代入①求解.

　　这种代入非常巧妙，他构造了一个系数为1的元，看来不能小瞧学生的潜力.由这种解法我想到了一种系数呈轮换对称的方程组.于是给出了一个变式：

　　解方程组：

　　3x+4y=10 ①4x-3y=5 ②

　　引导学生通过观察系数的特殊性，介绍了解决此类方程组的特殊技巧.

　　①+②得：x+y=■ ③

　　②-①得：x-y=-5 ④

　　联立③④，解得方程组.

　　此时学生很兴奋.

　　于是我不失时机地让学生进行归纳总结：“不同的方法可以达到殊途同归的效果，如何根据方程组的特点选择恰当的方法呢？要解对一道方程组，又有哪些重要因素呢？”学生们情绪高涨，七嘴八舌地讲了很多.

　　数学是一门严谨的学科，由于它的学科特点，学生往往觉得数学课困难、枯燥、乏味.因此，在教学中如何引起学生的共鸣是每个老师应该深思熟虑的一个问题.

　　责任编辑罗峰

甲、乙两人玩纸牌游戏问题

16．甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或（4﹣k）张，乙每次取6张或（6﹣k）张（k是常数，0＜k＜4）．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有 108 张．

分析： 设甲a次取（4﹣k）张，乙b次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取4张，乙（17﹣b）次取6张，从而根据两人所取牌的总张数恰好相等，得出a、b之间的关系，再有取牌总数的表达式，讨论即可得出答案．

解答： 解：设甲a次取（4﹣k）张，乙b次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取4张，乙（17﹣b）次取6张，

则甲取牌（60﹣ka）张，乙取牌（102﹣kb）张

则总共取牌：N=a（4﹣k）+4（15﹣a）+b（6﹣k）+6（17﹣b）=﹣k（a+b）+162，

从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的大，

由题意得，a≤15，b≤16，

又最终两人所取牌的总张数恰好相等，

故k（b﹣a）=42，而0＜k＜4，b﹣a为整数，

则由整除的知识，可得k可为1，2，3，

①当k=1时，b﹣a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；

②当k=2时，b﹣a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；

③当k=3时，b﹣a=14，此时可以符合题意，

综上可得：要保证a≤15，b≤16，b﹣a=14，（a+b）值最大，

则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；

当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，

继而可确定k=3，（a+b）=18，

所以N=﹣3×18+162=108张．

故答案为：108．

甲乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行,恰

1. 甲乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行,恰好有一列火车开来,整个火车经过甲身边用18秒，2分后又

用15秒从乙身边开过。问:（1)火车速度是甲的速度的几倍? (2)火车经过乙身边后,甲、乙还要多少时间才能相遇？

2. 甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，在A，B之间往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们第四次相遇

点与第五次相遇点的距离是150米，那么A，B之间的距离是________米。

3. 一只野兔逃出66步后猎狗才追它,野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步,猎狗跑4步的时间兔子能跑7步。猎狗至少要跑

多少步才能追上野兔?

4. 小炎和小锋同时从AB两地相向而行,小炎和小锋的速度比7:5,当小炎行了全程的4/5时,己超过相遇地点169米,相遇

时小炎比小锋多行了多少米?

5. 甲乙两车同时从A、B两地相对开出,相遇时,甲、乙两车所行路程的比是4:3,相遇后, 乙每小时比甲快24千米。甲车

仍按原速前进,结果两车同时到达目的地。乙车一共行了8小时。A、B两地相距多少千米?

6. 甲乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行。出发时甲、乙两车速度的比是5:4,相遇后甲车的速度变慢,乙车的速度

加快。甲、乙两车以5:6的速度继续前进,这样当甲车到达B地时,乙车离A地还有10千米, A、B两地相距多少千米?

7. 甲乙两班学生同时步行去公园,甲班每小时4千米,乙班每小时3千米。一辆汽车每小时48千米,这辆汽车恰好坐一个班学生,

如果要求最短时间内到达,求甲乙两班步行距离之比？

8. 甲每小时4千米, 乙每小时5千米，丙骑摩托车只能搭乘一人，载人每小时40千米。丙空车每小时60千米。,为了使甲乙丙

在最短时间内到达,甲步行的距离是全程的几分之几?

9. 点H，G，E，F，是正方形ABCD各边的中点，求图中阴影部分是正方形ABCD面积的几分之几？

10. 如图,AE=BE=120cm,用折线把这个三角形分割成面积相等的5个三角形求线段ED和EK的长度之和。

11. 下图中有5个完全相同的圆,其中A,B,C,E被固定在桌面上,圆D紧贴A,B,C,E这4个固定圆慢慢地沿顺时针方向滚动，滚动过

程中不发生任何滑动.当圆D再滚回到原来位置时,它自身绕圆心旋转了多少圈

?

12. BE=2AE,3BF=FC,求三角形EGF是长方形ABCD面积几分之几

13. 梯形ABCD中，DC=3AB,AE=ED,BF=2CF,四边形AEFB的面积是梯形的几分之几？

14. 梯形ABCD中，DC=2AB,AE=EB,AF=DF,三角形PCB的面积是梯形的几分之几？

15. 连接原正六边形的中点到到顶点得新的六边形，求大小两个六边形面积之比？

从一道方程组的解法谈起

　　在学习二元一次方程组时，小明遇到这样一个问题：

　　已知方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 的解是x=3，y=4， ，求方程组3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的解．

　　小明的解法如下：依据方程组解的定义，将x=3y=4 代入方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 得3a1+4b1=c1，3a2+4b2=c2. 将方程组3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的两边同时除以5，得a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2.将c1=3a1+4b1，c2=3a2+4b2代入方程组3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2， 并整理得3a1x－1+2b1y－2=0，3a2x－1+2b2y－2=0.观察该方程组中两个方程的系数特点，不难发现，当x－1=0，y－2=0时，不论a1，b1，a2，b2取何值，方程组中的两个方程均成立． 因此x－1=0，y－2=0， 解得x=5，y=10.

　　表面上看，小明的解法似乎天衣无缝，而实际上，小明在由3a1x－1+2b1y－2=0①，3a2x－1+2b2y－2=0② 推出x－1=0，y－2=0 时，忽视了二元一次方程组有唯一解的条件．

　　事实上，由①×a2得3a1a2x－1+2a2b1y－2=0③，由②×a1得3a1a2・x－1+2a1b2y－2=0④． ③-④得2a2b1y－2－2a1b2y－2=0，即2y－2（a2b1－a1b2）=0⑤． 可以看出，只有当a2b1-a1b2≠0时，才有y－2=0，否则y－2可以取任何值． 那么是否一定有a2b1-a1b2≠0呢？回答是肯定的．

　　由方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 的解是x=3，y=4 可知该方程组有唯一一组解． 根据方程组有唯一一组解的条件可得a2b1-a1b2≠0． 同理，只有当a2b1-a1b2≠0时才有x－1=0． 所以由3a1x－1+2b1y－2=0，3a2x－1+2b2y－2=0 推出x－1=0，y－2=0 时，一定要交待a2b1-a1b2≠0这个隐含条件，否则解题就不严密． 不仅如此，由于小明没有很好地利用已知条件，因而解法也比较麻烦．

　　事实上，对比已知方程组和所求方程组的系数，可以发现，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5后可得0.6a1x+0.4b1y=c1，0.6a2x+0.4b2y=c2， 此方程组中的0.6x，0.4y分别相当于方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 中的x，y，因此有0.6x=3，0.4y=4， 即方程组3a1x+2b1y=5c1，3a2x+2b2y=5c2 的解是x=5，y=10.

　　实际上，在解方程组0.6a1x+0.4b1y=c1，0.6a2x+0.4b2y=c2 时，我们也可设0.6x=u，0.4y=v，这样原方程组可变形为a1u+b1v=c1，a2u+b2v=c2， 对比方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2 与方程组a1u+b1v=c1，a2u+b2v=c2 的结构，我们发现，这两个方程组只是未知数的表达形式不同而已，未知数的系数和常数项都是相同的，这样的两个方程组的解一定相同，我们把它作为二元一次方程组的一个重要性质，即未知数的系数和常数项分别对应相等的两个二元一次方程组的解相同．

　　在解答类似于引例的数学问题时，我们要注意对比两个方程组的结构，运用二元一次方程组的重要性质进行解答．

　　已知方程组2a－3b=13，3a+5b=30.9 的解是a=8.3，b=1.2， 则方程组2（x+2）－3（y－1）=13，3（x+2）+5（y－1）=30.9 的解是（ ）

　　A． x=8.3y=1.2 B． x=10.3y=2.2

　　C． x=6.3y=2.2 D． x=10.3y=0.2

　　 对比两个方程组的结构，不妨设x+2=u，y-1=v，则方程组2（x+2）－3（y－1）=13，3（x+2）+5（y－1）=30.9 可变形为2u－3v=13，3u+5v=30.9， 利用二元一次方程组的重要性质可得u=8.3，v=1.2， 即x+2=8.3，y－1=1.2， 解得x=6.3，y=2.2. 所以方程组2（x+2）－3（y-1）=13，3（x+2）+5（y-1）=30.9 的解是x=6.3，y=2.2. 答案为C．

　　如果方程组a1x+b1y=2，a2x+b2y=3 的解是x=10，y=15， 求方程组5a1x+6b1y=8，5a2x+6b2y=12 的解．

　　对比两个方程组的结构，将方程组5a1x+6b1y=8，5a2x+6b2y=12 的两边同时除以4得a1x+b1y=2，a2x+b2y=3. 设x=u，y=v，则方程组a1x+b1y=2，a2x+b2y=3 可变形为a1u+b1v=2，a2u+b2v=3. 利用二元一次方程组的重要性质得u=10，v=15， 即x=10，y=15， 解得x=8，y=10. 所以方程组5a1x+6b1y=8，5a2x+6b2y=12 的解是x=8，y=10.

2解二元一次方程组

解二元一次方程组

教学目标:

会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组 教学重点:

用代入法和加减消元法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元. 教学难点:

用代入法和加减消元法解二元一次方程组 知识点:

1·用代入法解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。主要步骤是：

①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来 ②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式 ③解这个一元一次方程

④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。 2·用加减法解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。主要步骤是：

观察求未各数的系数的绝对值是否相同，若互为相反数就用加，若相同，就用减，达到消元目的。 例题:

3x+ 2y=8

2x+3y=16 x=

3x+5y=21 2x-5y=7 2x+3y=12 2x－5y= -11 2x+3y= -1 3x+4y=17

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1

y32

x+4y=13

练习题： 一、选择题

1.四名学生解二元一次方程组不正确的是（ ）

A.由①得x=

54y3

3x4y5

② 提出四种不同的解法，其中解法

x2y3

①

,代入② B.由①得y=

3x54

,代入②

C.由②得y=－

x32

,代入① D.由②得x=3+2y,代入①

② 使得代入后化简比较容易的变形是（ ） B.由①得y=

23x4

3x4y2

2.用代入法解方程组

2xy5

①

A.由①得x=C.由②得x=

24y3x5

2

D.由②得y=2x－5

2x3y1

3.用加减法解方程组时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相

3x2y8

反，有以下四种变形的结果：

①

6x9y16x4y8

②

4x6y19x6y8

③

6x9y36x4y16

④

4x6y29x6y24

其中变形正确的是（ ）

A.①②

B.③④

C.①③

D.②④

4.如果5x3m－2n－2yn－m+11=0是二元一次方程，则（ ）

A.m=1,n=2 5.已知

B.m=2,n=1C.m=－1,n=2

D.m=3,n=4

1b+53a

xy和－3x2ay2－4b是同类项，那么2

a,b的值是（ ）

a2b1

a1A.

b2

a7

B.

b0

a0C.3

b

5

D.

二、填空题

6.将x=－y－1代入4x－9y=8,可得到一元一次方程_______.

23

7.用代入法解方程组

x2y74xy1

由②得 y=______③,把③代入①，得 ②

①

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________，解得x=________,再把求得的x值代入②得，y=________.原方程组的解为_______. 8.关于x,y的方程组

－

mxy42mxy5

中，若x的值为，则m=________,y=________.

2

3

9.若2a7xyb17与－a2b2x+3y是同类项，则x=________,y=________.

3

1

10.解关于x的方程组m=________. 三、解答题

x2y3mxy9m

得

x____,y____.

当m满足方程5x+8y=38时，

11.用代入法解下列方程组

xy

33x2y823

（1） (2)

y4x7y5x3y9

3

12.用加减法解方程组

6s275t

(1)

3s184t

yx2

(2)34

3x4y7

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3

13.在公式Sn=na1+

n(n1)2

d中，已知S2=5，S4=14，求S6的值.

x3y4

14.解方程组11

xy042

①②

3y2x1

15.解方程组x2y1



43

①②

16.已知关于x、y的方程组

2x3y3

3x2y11

的解相同，求和

axby12ax3by3

a、b的值.

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线性方程组解的应用

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线性方程组解的应用

作者：潘劲松

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