复数 知识点 小结 1 1 、 复数的概念 复数
( , ) z a bi a b R ReIma zb z——实部————虚部——，其中21 i ， i 叫做虚数单位. 2 2 、 复数的分类 ( 0) ( , )( 0) ( 0bz a bi a b Rb a 实数复数虚数 特别地， 时为纯虚数) 3 3 、 两个复数相等
定义：如果两个复数 ) , (1R b a bi a z 和 ) , (2R d c di c z 的实部与虚部分别相等，即 d b c a 且 ，那么这两个 复数相等，记作 di c bi a . .
只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小. 4、 复平面 —— 建立了直角坐标系来表示复数的平面。复平面中，x x 轴叫做实轴，y y 轴叫做虚轴。表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数 0 0 。
5 5 、 复数的向量表示
OZ Z 向量 复平面上点 复数 ) , ( b a bi a z
6 6 、复数的模
复数模（绝对值）的定义，几何意义：
复数 z=a+bi （ a,b ∈R R ）
所对应的点 Z(a,b) 到坐标原点的距离。
| | z|=|a+bi|= 02 2 b a . .
[说明]2 | | 0 | | z z a a 为实数时， ，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。当且仅当a=b=0 时，|z|=0 7 7 、 复数的四则运算 性质：
R d c b a , , ,
1 1）
）
、加法：
i d b c a di c bi a ) ( ) ( ) ( ) (
2 2）
）
、减法：
i d b c a di c bi a ) ( ) ( ) ( ) (
3 3）
）
、乘法：
i bc ad bd ac di c bi a ) ( ) ( ) )( (
4 4）
）
、除法：
id cad bcd cbd acdi cbi a2 2 2 2
（目的：分母实数化）
[ [ 要点说明] ]①计算结果一律写成 ) , ( R b a bi a 的代数形式；
②复数的加法满足交换律、结合律； ③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律； 交换律：1 2 2 1z z z z
结合律：
) ( ) (3 2 1 3 2 1z z z z z z
分配律：3 1 2 1 3 2 1) ( z z z z z z z
④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即 n nn mn n m n m n mz z z z z z z z z N n m C z z z2 1 2 1*3 2 1) ( , ) ( , , , , , 时：
8 8 、 i i 的整数指数幂的周期性特征：
4 1 4 2 4 3 4 41 , 1, , 1k k k kk i i i i i i 若 为非负实数，则（）
；
0 24 4 3 4 2 4 1 4 k k k ki i i i ）
（
9 9 、 | |2 1z z 的几何意义：
设1 2,
( , , , ) z a bi z c di a b c d R
则2 22 1) ( ) ( | ) ( ) ( | | ) ( ) ( | | | d b c a i d b c a di c bi a z z
几何意义：
对应复平面 上 点1 2( , ), ( , ) Z a b Z c d 两点间距离2 2) ( ) ( d b c a d
10 、共轭复数
1 1 ）定义：
当两个复 数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数，记为 bi a z
问题：当 R z 时，是否有共轭复数？两者关系如何？ z z R z
2 2 ）
运算性质：结论可推广到 n n 个
2 1 2 1) 1 ( z z z z
2 1 2 1) 2 ( z z z z
) 0 ( ) ( ) ( ) 3 (22121 zzzzz 3 3 ）
模的运算性质：① 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | z z z z z z ；
② 1 2 1 2z z z z ，可推广至有限多个，特别地nnz z
③ 2121zzzz
④ 22z z z z ，特别地，当 1 z 时 ， 1 z z 即
1zz . . 11 、 复数的平方根：
在复数集 C C 内，如果 ) , , , ( , R d c b a di c bi a 满足：
di c bi a 2) ( ， 则称 bi a 是 di c 的一个平方根. .
从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数. 1 12 2 、 复数的立方根
设 i2321 ，则：
3 2 23 3 1 3 2 2(1) 1; (2) 1 0 ; (3) ;(4) 1 , { } 3 .n n n nT 即 是 的等比数列
13 、实系数 一元 二次方程 根 的情况
1）20( 0) ax bx c a 实系数一元二次方程 在复数集内根的情况：
① 0 , 当 时 有两个不相等的实根 ；② 0 当 时，有两个相等的实根 ； ③ 0 当 时，有两个共轭虚根 . 2）
0 当 时 ，2 21 2 1 1 2 1 22Re , | | | |b cx x x x x x xa a
3）21 2 1 2 1 20 | | ( ) 4 = x x x x x xa 当 时， ； 1 20 | | | |2 2 | |b i b ix xa a a 当 时，
1 2| || || |x xa 综上：