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平面向量知识点小结及常用解题方法 一、 平面向量两个定理 1. 平面向量的基本定理 2. 共线向量定理。
二、 平面向量的数量积 r
1. 向量 b 在向量 a 上的投影：
|b|cos ，它是一个实数，但不一定大于 0. r r r 「 rr 「 r 2. a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的模 iai 与 b 在 a 上的投影的积. 三 坐标运算：
设 a (x ， y)， b (x 2 ,y 2 ) ，则 r r (1)
向量的加减法运算：
a b (x i X 2 , y i y 2 ) ， a b (x x ? , y y 2 ) • (2) 实数与向量的积：a (x,y) ( x, y ). uuLr (3)
若 A(x,y )， B(x 2 ,y 2 )，则 AB (x 2
x, y 2
y) ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的 有向线段的终点坐标减去起点坐标 (4) 平面向量数量积：
a b x x 2
y y 2 . ( 5)向量的模：
ai 2
| a | 2
x 2
y 2
| a | ■. x 2
y 2
. 四、 向量平行 ( 共线)的充要条件 r r
r r r r
r r
2 a//b a b(b 0) (a b) 五、 向量垂直的充要条件 r r
r r
r r
r a b a b 0 |a b | |a 、 r
r r
r 六・ a (x ,y 1 ),b ( X 2 , y 2 ) cos p a,b f 七、向量中一些常用的结论 .三角形重心公式 在厶 ABC 中，若 A(x , y) , B(x 2 ,y 2 ) , C(x 3 ,y 3 ) ，则重心坐标为 G (
_一 ，_竺_)• 3 3 2. 三角形“三心”的向量表示 uur uuu uur r , “二、 (1) GA GB GC 0 G ABC 的重心. uur uuu um uuu uuu um , “十、 (2) PA PB PB PC PC PA P ABC 的垂心• uuuu uuu uuuu uuu uuiu uuu t
(3) | AB | PC | BC | PA |CA| PB 0 P ABC 的内心； 3•向量 PA, 皑 Puu 中三终点 A,B,C 共线 存在实数 ， ，使得 PA PB PC 且 1 . — f
uur 1 uuu uuir 4. 在厶 ABC 中右 D 为 BC 边中点则 AD (AB AC) uuu uuu
5. 与 AB 共线的单位向量是 _uuu- | AB |(|a||b|) X 1 y 2 yx 2 0 . b | X 1 X 2 X 1 X 2 2 : :-2 2 ■. X1 Y 1 . -2 Y 2
2
七•向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用
r r r r r
r r r r5.平面向量 a b (4,2) , c ma b ( m R ), 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m ( ) A、 2
B、 1
C、 1
D、 2 uuur 1 6. ABC 中 AN —uuur
uuu 2 uuu uuu
NC ,P 是 BN 上一点若 AP AC mAB 贝 V m=
3
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U LTuuur 2 uiT 2 uuu 2 uuu 2 uuu 2
7.o 为 ABC 平面内一点，若 oA BC oB CA oC AB 则 o 是 ABC 心
■- B A-
8. （2017 课标 I 理）已知向量 a,b 的夹角为 60 0 , a 2, b 1 ，贝 U a 2b
______________
PB?PC P 0 B ?F 0 C 则
ADC 90 0 , AD 2 ， BC 1
, p 是腰 DC 上的动点,m= A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 设 a 、 b 都是非零向量， 下列四个条件中，能使 r r 阜 里 成立的条件是（ ）
|a| |b|
r r r r r r r r r r A、a b B 、 a//b c、 a 2b D、 a//b 且 |a| |b|
mu
4. 已知点 A 1,3 ,B 4, 1 ， 则与向量 AB 同万向的单位向量为 2•已知 ABC 和点 M 满足 MA MB +MC 0 •若存在实数 m 使得 AB AC mAM 成立，则 A • ABC 90 0
B • BAC 90 ° C • AB AC D. AC BC 1•设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外, uur 2 BC uuu uuu 16,AB AC uur uuu uuuu AB AC 贝 V AM (A) 8 ( B) 4 ( C ) 2 (D) 1
uuu $ -umr uuu
9. 如图，在△ ABC 中， AD AB , BC J ；
3 BD , AD 1 ，则
( B 込
也
/ 0 uuur umr AC AD = ( A) 2 品
( C ) 厂 （ D 灵r 1
2
3 uuu uuu
10. 已知点 A 1,1 . B 1,2 . C 2, 1 D 3,4 , 则向量 AB 在 CD 方向上的投影为
A 3 転
B .
C . 3 佢 D 3715
2
2
2
2
（二）利用坐标法 12.已知直角梯形 ABCD 中， AD // BC （二）利用投影定11 设 ABC.F 0 是边 AB 上一定点, 满足 F 0 B 4 AB ， 且对于边 AB 上任一点 P ， 恒有
3
uuu uuu PA 3PB 的最小值为 13. （2017 课标 II 理）已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点, uuu PA uuu uuur （PB PC）
的最小值是（ B. 3 4 C. - 2 3 D. 1 14. 15. 向量问题基底化 uuv 在边长为 1 的正三角形 ABC 中 ， 设BC
uuuvuuv 2BD,CA 3CE 则 A D
uuv BE （ 2017 天津理）
在 ABC 中， / A 60 , uu uuu AB 3 , AC 2 .若 BD 2DC , uuu uuur uuu AE AC AB( uuur uuu R) ，且 AD AE 4 ，则 的值为 16•见上第 11 题 （四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化 例题 1. uuur 1 uuur ABC 中 AN - NC ,P 是 BN 上一点若 3 2. （2017 课标 I 理）已知向量 a,b 的夹角为 2 uuur AC 11 60 0 ,|a 2,|b| uuu AP iuu mAB 贝 V m= 3、 uuur 如图，在△ ABC 中， AD AB , BC uuur BD , AD uur uuur uuur AC AD = (A ) 2 3 (B) 出 2 (C ) 17.设向量 a, b, c 满足 a
= b =1, ag)
= c,b c
= 60 0 ，则 c 的最大值等于 A. 2 B. 3
18.若a
, b , c均为单位向量，且 a b 0 , (A) 2 1 (a c) (B) 1 (C) C. (b 2 2 c) D. 1 0 ，则 |a b c| 的最大值为 (D) 2 19. 已知 a,b 是单位向量 ， ag）
0 .若向量 c 满足 |c 1,则 c 的取值范围是 A . , 2-1 , , , 2+1 B. . 2-1 , , . 2+2 C. 1 , , , 2+1 D. 1 , , 「 2+2 20.已知两个非零向量 a, b 满足|a+b|=|a b|,则下面结论正确的是 （A）
a // b （五）向量与解三角形 (B) a 丄 b (C) (D)a+b=a b 21 .在△ ABC 中, AB=2, uuur uuu AC=3 ABgBC = 1 则 BC
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u ur ur 22. 已知平面向量 ,, （
围 _______
ULT 23. 锐角三角形 ABC 中 oA T U 0, ULT oB T UUUTUTu UTU U 0）
满足 ，，（ 0, 0）
1, 与 - 夹角 120 0 ，求 取值范 UUU oC ,A 30 0 若 cosB sinC UJU AB cosC AC sin B Ur、 2moA 求 m