六年级数学训练(二)
班级_________姓名_________
一、直接写出得数。 100－25＝ 13÷17＝ 55
÷ ＝ 66二、化简比。
1.2＋0.6＝ 92
×＝ 103
4
5÷ ＝
5
2.5×4＝ 3
×4＝ 16
3－
2.4
1÷
÷＝ 6
(1) 45:72
2113
： ：
5257 10
60
91
(2) :3
2
1314 × ×＝ 3737
3654
(4) ＝
X3
3
(3) ＝3:12
4
1
(5) X:4＝2
111(6) ＝
246
611(7) ＝
2456
354
（10）10:x＝ ＝X:X:4
557
(8)1.25:0.25＝X:1.6
(9)72:X
3
8
12
(15)＝8:X
33
(18)
0.650.13
＝ X2
(22)X:75%＝
811 : 48
59(21) :X＝0.2:
1225
(23)1.2:3.6＝
9
:X 10
(24)X:
3
＝6 10
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四、解方程
35(1) ＝
58
39(4)6x×＝
710
(5)x＋25%x＝80
(2) X－＝
3
565
5(3) ＋2x
8
(7)3X÷0.5＝1.5 (8)17＋X＝
(10)x÷20% 4
(13)x: ＝1.5
5
(14)x－20%x＝6.4
2343(15)－ ＝
5737
(11)x×(1＋30%)＝3.9
(12)15%x＋21%x＝18
32
－4X＝9
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二、依照下面的条件列出比例，并且解比例。
(1)X与18的比等于1与6的比
(3)40与X的比等于5和8的比
747
(2) 与 的比等于 与X的比
338
39
(4) 和X的比等于 和
47
能简便计算的要简便计算。
93
(1)3×(150－1530÷15) (2)8
4
1145
＋(＋ )
15159
323
(6)5－ × －834
1
×＋2.2×20%
5
7831113
(9)34.7－ ＋65.3－ (10)( ＋ )×12
15154624
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73111
(11)0.25×32×12.5 ×[－ － )]
124202
解方程和解比例29份解方程和解比例
1134111
Ｘ＋Ｘ= Ｘ－12%Ｘ=2.816 ×－Ｘ= 23454220 11136
x x25%x7.5 χ－χ＝ 555
42∶35
χ∶57
34X－0.54=1.56
X：7.5=0.16:178
3.5X-X=75 3X-16
552：15＝14：x 14x－435＝5
34：X=0.8：1
7 χ－ 134 χ=5
2X-14=11 1:413
5
5
3
4
:x
×3=102 9∶X=4.5∶0.8
1
1X4
X：40＝2.5：4 1 4：X＝0.4：8 3.5 0.5
89＋19X = 2 3χ＋ 6χ=181
5 X－ 40%X =4
60%χ－30 = 120 χ＋50%χ = 4.5 （1－25%）χ=72
4χ＋40%χ = 176 1－34＝35 121.5＋3
＝3
（1－30%）×0.5＝0.35
34：＝25：1
5
1514×7＋4=850%
13：7＝
2x14
0.75x+3×0.8=7.5 0.6 ＝0.93
2
11448÷ －0.4X=4 0.5X＋2X=11 0.3:X=
3511
1.5－0.6×15=18
1.21 50%+=20
3－
34=1819
2X－12=0.5 X
2：（1－X）=
45
34X+5×4=95
１－38Ｘ＝56
2575 18310:35
＋5X=
27
416
0.36：X=110：23x－12x=5
6 12.75：Ｘ＝24
3:9
3
12:5＝X:（9－0.5） X－9.2＋7.59＝16.28 49 187.2＝8
：35=X：12
0.36×5－2χ＝0.4
3
０
x：
3331
7＋4x＝850％ X-=1.75 0.36:8=X:25 ＝5.1:17 1
51448
25102.5x－30%x＝52 ：＝x：9 x=0.8
36
6×3-1.8x=7.2
197 ：x＝3.6：14
72：x＝4：5.6
18：x＝372
X－9.2＋7.59＝16.28
135∶4 = x:2.5
43 x＋8×0.5＝16 2.4：8
5 ＝12：x 111
347 ：x＝5：3 x：12＝45＋2.76＝x 3－318184=19
33
10:5 12:5＝X:（9－0.5） 0.12×5 - 12x =33275 χ×（4+3）=24
4
χ－χ＝ ６×
3565111
－χ＝ 49＋40％χ＝89 1222
131
xx χ－65％χ＝70 120％χ－χ＝0.8 483
115111xx ::x 14×3＋0.7x＝56 4289312
x－
3
x＝8.5 x∶24＝6∶0.15 20
111111
：＝：x x －x ＝9.45 3.7×5－2x＝1 3x＋4＝4.7 2104822
1 5 1 1
χ－ χ 0.6χ+ ＝
6 9 7 4
8χ－4×1.2＝2.4
1 2 + 2 ＝42 3
4+0.7χ＝102
0.5×（χ+0.8）＝1.9 2 ÷1 ＝12
3
4
5
6
比和比例及列方程解应用题比和比例及列方程解应用题、浓度应用题
一、有关比的应用题（按比例分配）
A、已知各部分的总和与各部分量的比，求各部分量
解决这种应用题有两种方法：归一法和分数乘法
(1)归一法:总数量÷总份数(把比的各项相加)=每份数
每份数×各自的份数=各部分的量
(2)分数乘法:总数量×各部分的份数总份数=各部分的量
1、一个长方形，长与宽的比是4：3，这个长方形的周长是280厘米，它的面积是多少平方厘米？
2、一个长方体的棱长总和是96分米，长、宽、高的比是3：3：2，它的表面积和体积各是多少？
3、工程队修一条路，已经修好的和未修的比是1：2，如果再修1.5千米，刚好修完着条路的一半，这条公路全长多少米？
4、青年运输队计划3天运完一批货物。第一天运了480吨，占这批货物的40%；第二天运的和第三天运的吨数比是3：5，第三天运的货物是多少吨？
5、红云小队三天共植树150棵，第一与第二天植树棵数的比是5：6，第二天与第三天植树的比是3：2，第一、第二、第三天植树多少棵？
B、已知各部分的差与各部分量的比，求各部分量
用各部分的差÷份数差（份数大的-份数小的）=每份数 每份数×各自所占的分数=各部分的量
每份数×总份数=总数
1、数学小组和美术小组人数的比为5：3，数学小组不美术小组多24人，两组各有多少人？
2、师徒两人共同加工一批零件，师傅和徒弟加工零件个数的比为4：1，已知徒弟比师傅少加工600个。这批零件共有多少个？
3、甲、乙两辆汽车同时从相距420千米的两地相对开出，5小时后相遇，甲车与乙车的速度比为4：3，甲、乙两张车的速度地是多少？
C、已知部分量与各部分量的比，求另一部分量或总量
用部分量÷所对应的份数=每份数
每份数×另一部分所占的份数=另一部分的量
每份数×总份数=总数量
1、果园里苹果树和梨树的比是7：5，苹果树有350棵，梨树有多少棵？两种果树一共有多少棵？苹果树比梨树多多少棵？
2、甲、乙两个课外活动小组人数的比是5：3，如果从甲组调14人到乙组去，甲组和乙组的人数比为1：2，原来两组各有多少人？
3、甲、乙、丙三个人加工一批零件，甲加工了总数的40%，乙、丙加工个数的比为2：3，已知丙加工了360个，这批零件共有多少个？
二、比例应用题（正步例和反比例应用题）
(1)正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系，关系式是：yx=k(一定)。
（2）反比例应用题中的各种相关联的数量有反比例关系，关系式是：xy=k(一定)。
（3）解答正反比例应用题的基本步骤是：A、分析数量关系，依据相关联的量之间的数量关系，判断它们成什么比例； B、根据关系列出等量关系式；C、设未知数，根据等量关系列方程；D、解方程 E、检验并写出答案。
1、有两个底面积相等的圆柱,一个圆柱高6分米,体积为50立分米。另一个圆柱高4.8分米，体积是多少？（用比例解）
2、用一种方砖铺地，铺10平方米需要这种方砖40块，铺完面积是60平方米的房间，需这种方砖多少块？（用比例解）
3、一辆汽车的油箱里储油102升，行驶了56千米正好耗油8升，照这样计算，剩下的油还可以行驶多少千米？（用比例解）
4、一台拖拉机3小时耕地6公顷，照这样计算，如果再耕地5小时，一共可以耕地多少公顷？（用比例解）
5、有一批纸装订成本，如果每本装订35张纸，可以装订200本，如果每本多装订5张，那么少订多少本？（用比例解）
三、比例尺应用题
基本的数量关系式为：图上距离÷实际距离=比例迟
图上距离÷比例迟=实际距离
实际距离×比例迟=图上距离
1、一块长方形土地，长75米，宽30米，把它画在比例尺是1200的设计图上,它的面积是多少平方厘米?
2、在一幅比例尺是118000000的地图上,量得南京到北京的距离是10.2厘米。一架飞机每小时以600千米的速度从南京飞往北京约用多长时间？
3、在比例尺是1：6000000的地图上，量得上海到南京的距离是15厘米，上海到南京的实际距离是多少千米？
四、列方程解应用题
列方程解应用题的一般步骤：（1）弄清题意，找出未知数并用ｘ表示：（2）、找出应用题中数量间的相等关系，列方程；（3）解方程；（ 4）检验或验算，写出答案。
1、二、列方程解应用题
1、水果店云来苹果490千克，比运来的梨的2倍还多10千克，运来梨多少千克？
2、两袋大米，第二袋比第一袋多15千克，已知第一袋大米的质量的1/3恰好与第二袋大米质量的2/7相等。两袋大米各有多少千克？
3、小明读一本书，读了几天后，已读页数和未读页数的比为2：3，后来又读了56页，这时已读页数和未读页数的比是5：4，这本书共有多少页？
4、甲、乙两列火车同时从相距450千米的两地相对开出，甲车每小时性45千米，5小时后，两车未相遇，但两车还相距25千米，乙车每小时行多少千米？
五、浓度问题
基本概念
溶质:溶解于液体中的物质(盐、糖)
溶剂：溶解物质的液体（水„„）
溶液：溶质和溶剂的混合物。（水和溶解于其中的物质统称溶液） 基本数量关系：
溶液质量=溶质质量+溶剂质量
溶剂质量=溶液质量-溶质质量 溶剂质量=溶液质量Х（1-浓度） 浓度=（溶质质量÷溶液质量）×100%
溶质质量=溶液质量Х浓度
1、某种农药的浓度是25%，现要将600克的这种农药添加水稀释成浓度为3%的药水，应该添水多少克？
2、有浓度为25%的食盐水100克，加入多少克食盐后，浓度增加到40%？
3、要将浓度为40%的某种消毒液500克稀释成5%的消毒液，需加水多少克？
4、将酒精含量为55%的A种白酒40克与酒精含量为35%的B种白酒60克混合，得到一种新型白酒C，这种白酒的浓度是多少？
5、小丽说“将浓度为30%的盐水20克与浓度是20%的盐水30克混合，就可得到浓度为25%的盐水50克”。她的说法对吗？请计算说明。
六、工程问题
1、加工一批零件，甲独做需3天完成，乙独做需4天完成，两人同时加工，完成任务时，甲比乙多做24个，这批零件共有多少个？（模拟3）
2、加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的2/5没有完成，已知甲每天比乙多加工3个零件，那么这批零件有多少个？
3、师徒二人加工一批零件，15天可以完成，已知师傅和徒弟的工作效率之比是3 ：2，师傅单独加工这批零件需要几天？
4、、一项工程，甲队单独做需12天完成，如果甲乙两队合作5天后，剩下的工程由甲队完成，还需3天，乙对单独完成这项工程需多少天？
七、相遇问题
1、A、B两地相距470千米，甲车以每小时46千米，乙车以每小时40千米的速度先后从两地出发，相向而行，相遇时甲车行驶了230千米。问：乙车比甲车早出发几小时？
2、快、慢两车同时从两城相向出发，4小时后在离中点18千米处相遇。已知快车每小时行70千米，慢车每小时行多少千
3、甲、乙两人同时骑自行车由A城去B城，甲每小时行12千米，乙每小时行9千米，甲在途中停留4小时，因此甲比乙迟到1小时，问：A、B两城相距多少千米？
4、一列货车以每小时行50千米的速度从甲地开往乙地，同时一列客车以每小时55千米的速度从乙地开往甲地，经过6小时20分两车又相距70千米，甲、乙两地相距多少千米？
5、甲、乙两车同时从两地相向而行，甲车每小时行83千米，乙车每小时行95千米，两车在距中点24千米处相遇，求两地间的距离？
简算、方程、解比例
总面积一定，方砖的面积与方砖的块数成反比例。 方砖面积一定，铺地面积与方砖块数成正比例关系。 方砖块数一定，铺地面积与方砖面积成正比例关系。
1、 一间会议室用面积为16平方分米的方砖铺地，需要540块，如果改用面积为36平方分米的方砖铺，需要多少块？
2、 一间会议室用面积为16平方分米的方砖铺地，需要1080块，如果改用边长为6分米的方砖铺，需要多少块？
3、 一间会议室用边长为5平方分米的方砖铺地，需要6000块，如果改用边长为10分米的方砖铺，需要多少块？
1、 某工厂生产零件，5天生产了125个，照这样计算，要生产1200个零件，一共需要几天？
2、 某工厂生产零件，5天生产了125个，照这样计算，要生产1200个零件，还要几天？
1、 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，5小时可以到达，如果从乙地返回甲地，用了6小时，每小时要行多少千米？
2、 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，5小时可以到达，如果要提前1小时到达，每小时要行多少千米？
1、 一辆汽车5小时行驶350千米，照这样计算，4小时行驶多少千米？
2、 一辆汽车计划5小时行驶350千米，实际提前1小时行驶完全程，实际每小时行驶多少千米？
3、 网通公司为永乐小区住户安装电话，如果每天安装25户，18天可以装完，如果想15天装完，平均每天要装多少户？
4、 网通公司为永乐小区住户安装电话，如果每天安装25户，18天可以装完，如果想15天装完，平均每天要多装多少户？
1、 我国发射的科学实验人造地球卫星，在太空中绕地球运行6周需要10小时运行15周需要多少小时？
2、 有一堆煤，原计划每天烧3吨，可以烧96天，实际每天烧2.4吨，实际可以烧多少天？
3、 菲菲家上个月用了10吨水，水费15元，星星家上个月用水8吨，水费是多少？
4、 甲乙两地之间的公路长300千米。一辆汽车从甲地开往乙地，头两小时行驶80千米，照这样计算，几小时可以到达乙地？
5、 小太阳服装厂生产一批儿童服装，计划每小时生产120套，25小时完成。实际每小时生产200套，实际多少小时完成？
解简易方程例1
《解简易方程例1、例2》教学实录
一、检查课前自学情况
师：同学们，你们已经借助微课程自学了解方程的例1和例2，现在我们一起交流一下学习情况。首先我们从“解方程”的这个“解”字开始。谁能说一下“解方程”和“方程的解”有什么不同？
生1：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程的解的过程叫解方程。 师：说的对，能举个例子说一下吗。
生1：比如x+3=9这个方程，6是方程的解，求6的过程叫解方程。
师：也就是说方程的解是一个“数”，一个答案，解方程是一个“过程”。
师：接下来我们以x+3=9和3x=18这两个方程为例说一下你们是如何解方程的，也就是如何求x的值的。
生2：第一题3+6=9，就知道x=6，第2题3×6=18，就知道x=6.
师：很好，还有别的方法吗？
生3:9-3=6,18/3=6。
师：利用了加减法和乘除法之间的关系。
师：在微课程中我们运用了什么方法，还记得吗？谁能上来讲一讲。
生3和生4分别板演两个例题的解法。
师：他们做的对吗？谁有疑惑要问他们。
师：第一道为什么左右两边要同时减去3呢，减去x不行吗？
生3：减去x左边就没有未知数了。
师：那减去5不行吗？
生3：减去5不够减。
师：那减1不行吗？
生3：那还剩下。
师：多减也不行，少减也不行，把未知数减去也不行，那我们要让左边变成什么样子才好呢？ 生3：只含有未知数。
师：对，如果只含有未知数，我们就能求出未知数的值。那在我们把这个方程变形的过程中，也就是利用等式的性质让这个等式变形。
师：你来讲一讲这个方程为什么要处以3呢。
生4:有3个x除以3，就变成1个x了。
师：那除以4不行吗？
生4：那就不到一个x.
师：如果减去2x呢。
生4：那左右都有x就更不好做了。
师：刚才我们在解方程的过程中，都是让方程的左边发生怎样的变化？
生5：只含有一个未知数。
师：如果只含有一个未知数，我们便能求出它的值。
师：怎么知道这个值对不对呢？还应该验算。谁能讲一讲怎么验算。
生6：把这个数代入方程，看一下方程左右两边是不是相等。
师：我们解方程的书写格式和以前学习的计算有什么不同呢？
生7：要写解
生8：像脱式计算
生9：等号在中间，要对齐。
师：同学们发现的很好，方程是个等式，所以等号是 在中间的。
师：老师发现利用微课程你们学习的不错，接下来，我们进行练习。
二、练习应用
1. 完成67页做一做，并补充：1.6x=6.4 ,x÷3=18
2. 集体订正答案并改错。
三、小结
师：总结一下今天我们学习了哪种形式的方程的解法.
a+x=b,x-a=b,ax=b,x÷a=b.
师：我们解方程的时候是怎么进行转化的？
生：让一边只含有一个未知数。
师：对解方程就是让一边只含有未知数，一边都是已知数。
师：以后我们还会学习更多更复杂的方程，但它们的道理都是一样的。
用MATLAB解方程的三个实例用MATLAB解方程的三个实例
1、对于多项式p(x)=x3-6x2-72x-27，求多项式p(x)=0的根，可用多项式求根函数roots（p），其中p为多项式系数向量，即
p =[1,-6,-72,-27]
p =
1.00 -6.00 -72.00 -27.00
p是多项式的MATLAB描述方法，我们可用poly2str(p,x)函数，来显示多项式的形式: px=poly2str(p,x)
px =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27
多项式的根解法如下：
format rat %以有理数显示
r=roots(p)
r =
2170/179
-648/113
-769/1980
2、在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。
例如，求方程（x+2）x=2的解,解法如下：
x=solve((x+2)^x=2,x)
x =
.69829942170241042826920133106081
得到符号解，具有缺省精度。如果需要指定精度的解，则：
x=vpa(x,3)
x =
.698
3、使用fzero或fsolve函数，可以求解指定位置（如x0）的一个根，格式为：x=fzero(fun,x0)或x=fsolve(fun,x0)。例如，求方程0.8x+atan(x)-=0在x0=2附近一个根，解法如下： fu=@(x)0.8*x+atan(x)-pi;
x=fzero(fu,2)
x =
2.4482
或
x=fsolve(0.8*x+atan(x)-pi,2)
x =
2.4482
当然了，对于该方程也可以用第二种方法求解：
x=solve(0.8*x+atan(x)-pi,x)
x =
2.4482183943587910343011460497668
对于第一个例子，也可以用第三种方法求解：
F=@(x)x^3-6*x^2-72*x-27
F =
@(x)x^3-6*x^2-72*x-27
x=fzero(F,10)
x =
12.1229
对于第二个例子，也可以用第三种方法：
FUN=@(x)(x+2)^x-2
FUN =
@(x)(x+2)^x-2
x=fzero(FUN,1)
x =
0.6983
最近有多人问如何用matlab解方程组的问题，其实在matlab中解方程组还是很方便的，例如，对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵，非奇异)的求解，MATLAB中有两种方法：
(1)x=inv(A)*b — 采用求逆运算解方程组；
(2)x=Ab — 采用左除运算解方程组。
例:
x1+2x2=8
2x1+3x2=13
A=[1,2;2,3];b=[8;13];
x=inv(A)*b
x =
2.00
3.00
x=Ab
x =
2.00
3.00；
即二元一次方程组的解x1和x2分别是2和3。
对于同学问到的用matlab解多次的方程组，有符号解法，方法是：先解出符号解,然后用
vpa(F,n)求出n位有效数字的数值解.具体步骤如下：
第一步:定义变量syms x y z ...;
第二步:求解[x,y,z,...]=solve(eqn1,eqn2,...,eqnN,var1,var2,...varN);
第三步:求出n位有效数字的数值解x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);...。
如：解二（多）元二（高）次方程组：
x^2+3*y+1=0
y^2+4*x+1=0
解法如下：
syms x y;
[x,y]=solve(x^2+3*y+1=0,y^2+4*x+1=0);
x=vpa(x,4);
y=vpa(y,4);
结果是：
x =
1.635+3.029*i
1.635-3.029*i
-.283
-2.987
y =
1.834-3.301*i
1.834+3.301*i
-.3600
-3.307。
二元二次方程组，共4个实数根；
还有的同学问，如何用matlab解高次方程组（非符号方程组）？举个例子好吗？ 解答如下：
基本方法是：solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)，即求表达式s1,s2,…,sn组成的方程组，求解变量分别v1,v2,…,vn。
具体例子如下：
x^2 + x*y + y = 3
x^2 - 4*x + 3 = 0
解法：
[x,y] = solve(x^2 + x*y + y = 3,x^2 - 4*x + 3 = 0)
运行结果为
x =
1 3
y =
1 -3/2
即x等于1和3；y等于1和-1.5
或
[x,y] = solve(x^2 + x*y + y = 3,x^2 - 4*x + 3= 0,x,y)
x =
1 3
y =
1 -3/2
结果一样，二元二方程都是4个实根。
通过这三个例子可以看出，用matlab解各类方程组都是可以的，方法也有多种，只是用到解方程组的函数，注意正确书写参数就可以了，非常方便。
解方程例4,例5教学设计教学内容：教材P69例4、例5及练习十五第6、8、9、13题。
教学目标：
知识与技能：巩固利用等式的性质解方程的知识，学会解ax ±b＝c与a(x ±b)=c类型的方程。
过程与方法：进一步掌握解方程的书写格式和写法。
情感、态度与价值观：在学习过程中，进一步积累数学活动经验，感受方程的思想方法，发展初步的抽象思维能力。
教学重点：理解在解方程过程中，把一个式子看作一个整体。
教学难点：理解解方程的方法。
教学方法：观察、分析、抽象、概括和交流.
教学准备：多媒体。
教学过程
一、复习导入
1．出示习题：解下面方程：4x =8.6 48.34-x =4.5
学生自主解答练习，并说一说是怎么做的。并在订正的过程中，规范书写。
2．引出：这节课我们来继续学习解方程。（板书课题：解方程）
二、互动新授
1．出示教材第69页例4情境图。
引导学生观察，并说一说图意。再让学生根据图列一个方程。
学生列出方程3x +4=40后，让学生说一说怎么想的。
（一盒铅笔盒有x 支铅笔，3盒铅笔盒就有3x 支铅笔。）
在学生说自己的想法时，引导学生说出把3个未知的铅笔盒看作一部分，4支铅笔看作一部分。
2．让学生试着求出方程的解。
学生在尝试解方程时，可能会遇到困难，要让学生说一说自己的困惑。
学生可能会疑惑：方程的左边是个二级运算不知识如何解。
也有学生可能会想到，把3个未知的铅笔盒看作一部分，先求出这部分有多少支，再求一盒多少支。（如果没有，教师可提示学生这样思考。）
提问：假如知道一盒铅笔盒有几支，要求一共有多少支铅笔，你会怎么算？
学生会说：先算出3个铅笔盒一共多少支，再加上外面的4支。
师小结：在这里，我们也是先把3个铅笔盒的支数看成了一个整体，先求这部分有多少支。解方程时，也就是先把谁看成一个整体？(3x )
让学生尝试继续解答，订正。
根据学生的回答，板书解题过程：
3x +4=40
解： 3x =40-4
3x =36 （先把3x 看成一个整体）
3x ÷3=36÷3
x =12
让学生同桌之间再说一说解方程的过程。
3．出示教材第69页例5：解方程2(x -16)=8。
先让学生说一说方程左边的运算顺序：先算x -16，再乘2，积是8。
思考：你能把它转换成你会解的方程吗？
让学生尝试解方程，再在小组内交流自己的做法，然后集体订正，学生可能会有两种做法：
(1)利用例4的方法来解。
让学生说一说自己的思考，重点说一说把什么看作一个整体？
（先把x -16看作一个整体。）板书计算过程：
2(x -16)=8
解：2(x -16)÷2=8÷2（把x -16看作一个整体）
x -16=4
x -16+16=4+16
x =20
(2)用运算定律来解。
引导学生观察方程，有些学生会看出这个方程是乘法分配律的逆运算。可以运用乘法分配律把它转化成我们学过的方程来解。
根据学生回答，板书计算过程：
2(x -16)=8
解： 2x -32=8 （运用了乘法分配律）
2x -32+32=8+32 （把2x 看作一个整体）
2x =40
2x ÷2=40÷2
x =20
4．让学生检验方程的解是否正确。先说一说如何检验，再自主检验。
（可以把方程的解代入方程中计算，看看方程左右两边是否相等。）
三、巩固拓展
1．完成教材第69页“做一做”第1题。
先让学生分析图意，再列方程解答。解答时，让学生说一说自己的想法，把谁看作一个整体。（可以把5个练习本的总价5x 看作一个整体。）
2．完成教材第69页“做一做”第2题。
先让学生自主解方程，再集体订正。
3．完成教材第71页“练习十五”第8题。
先让学生说一说图意，再列方程解答。特别是第一幅图，要提醒学生天平两边的砝码不一样重，审题要细心。第二幅图，学生可能会列出方程30×2+2x =158，再引导学生观察有两个30和两个x ，可以运用乘法分配律。
四、课堂小结
这节课你学会了什么知识？有哪些收获？
引导总结：1．在解较复杂的方程时，可以把一个式子看作一个整体来解。
2．在解方程时，可以运用运算定律来解。
作业：教材第71～72页练习十五第6、9、13题。
板书设计：
解方程
例4:3x +4=40
解： 3x ＝40-4 （先把3x 看成一个整体）
3x ＝36
3x ÷3＝36÷3
x ＝12
例5：2(x -16)=8 （把x -16看作一个整体）
方法1： 方法2：
解：2(x -16)÷2＝8÷2 解：2x -32＝8 （运用了乘法分配律）
x -16＝4 x -32+32＝8+32 （把2x 看作一个整体）
x -16+16＝4+16 2x ＝40 x ＝20 2x ÷2＝40÷2
X ＝20
解方程及解比例练习题
人教版六年级解方程及解比例练习题
解比例:
x:10=: 0.4:x=1.2:2
1113
:=:x 0.8:4=x:8 :x=3:12 1
4
13
123= 2.4x
254
1.25:0.25=x:1.6 x: 2
=6: 24
3
25 】
2.8:4.2=x:9.6
x:24= 3
:14
3
8:x=
0．6∶4＝2.4∶x
3142x∶45
10∶50＝x∶40
13120169 x 解方程
2=89
x
4.56x=2.2
110
:x=11
8:4 2.8:4.2=x:9.6
4:35
4
6∶x＝11531141252536x 1.3∶x＝5.2∶20 x4.680.2x1
4
36x=543
5:1=x: 18
6
12
0.6121.5
x
x∶1141
2∶3.6＝6∶18
38x64
45:x=18:26
2233
X－ X= 2X + 7554
31454535521
X＋X＝121 5X－3×＝ X÷＝12
873421
X×=20× 25% + 10X = X - 15%X = 68
313
X+= 3X=3 6X＋5 =13.4 X÷2
=
7716
X 125 ÷310 X÷ 635=2645
×1325
310X－21×23=4
6X＋5 =13.4 5X=1519
23X÷14=12 X÷635=2645÷1325 X-0.25=
4+0.7X=102 X-38X=400 X-0.125X=8
448＋78X=34 4X35 X = 2572 x－3 ×9 = 29 x+1
4
x=20 2513
3 X=10821X=415
X35X=2572 14 2
X+132X=42 X+2
8
－6×2
3=2
89 X = 16×16
51 11
2x + 6x = 4
2(x+2.6)=8
χ－6＝38
÷415
5=28
819X=6×16
51
X
4
=30%
14
X=105 36X
= 34
4
313135X+×( + )= x－0.375x= 768126x×+=4× X－X＝12 5 X－2.4×5＝8 3321
0.36×5- 45324
x- 0.8x = 16+6 20 x– 8.5= 1.5 x- x -4= 21
23
12
38
37
X＋25%X=90 X2X + 2535 70%X + 20%X = 3.6 X
25% + 10X = 45
X - 15%X = 68 X 5X－3×521
＝57
34X+14=3
8 3X=X＋7X=384 4X
35 X = 2572
4x－3 ×9 = 29
x+
1
4
x=20
－387 X= 923X÷1
4＝12 6X38 X－6×23
=2 819 X = 6×1651 X1x + 12
6
x = 4 2(x+2.6)=8 6X3
5－ 27 X=3
4
×35=20×1
4
＋38
X＝121 ＋5 =13.4 ÷27=716
125 ÷X=3
10
÷ 635=2613
45
×25 310
X－21×2
3=4
＋5 =13.4
21315
X- 4χ－6＝38 5X= 531019
8441521
X= X÷= X÷=12
528342115
325811662613
X= X=× X÷=÷ 572
X-0.25=1
4
213X+2X=42 X+
X-0.125X=8 X×( 16 + 38 )=1312X－3
7X＝12 5 X 23 (x- 4.5) = 7 x- 0.8x = 16+6 20 xX－3789 70%X + 20%X = 3.6X - 15%X = 68 313
4X+4=8 3X=
9651X
4
=30% 4+0.7X=102 14X=105 X-363
X = 4－0.375x=56 x－2.4×5＝8 0.361
2– 8.5= 1.5 x- X－ 273
4 2X + X×3
=20×15
4
25% + 10X = X＋3
8
X＝121 5X38
4
3545
253
8
X=400 37 X=18
×213
3+2=4×8
×5- 34 x = 35
＋25%X=90 4
525 = 3545
－3×521
＝5
7
X÷= X÷ 277732
X＋X= 4X－6×=2
84316
1233258116
÷ X = X = × 5105729651
6261311
=× 4x－3 ×9 = 29 x + x = 4
3545
25
310X－21×2
3=4 6X＋5 =13.4 5X=1519
23X÷14=12 X÷635=2645÷1325 X-0.25=
4+0.7X=102
X-38X=400 X-0.125X=8
X+37
x×2
+1=4×3328 0.36×5- 3345
2x+14
x=20 25133
10 48421X=15
X35X=2572 14 2
X+132X=42 X+×( 13136812 x－37
X＝12 235
62(x+2.6)=8
χ－6＝38
÷45=15
28
89X=16×16
51
X
4
=30%
14
X=105 363X
= 4
－0.375x=5
6 5 X－2.4×5＝8 1
2
x- 25%x = 10
X
4
x- 0.8x = 16+6 20 x– 8.5= 1.5 5
6
解比例及解方程练习题解比例练习题
解比例:
x:10=: 0.4:x=1.2:2
1113
:=:x 0.8:4=x:8 :x=3:12 1
4
13
123= 2.4x
254
289=x x: 2
=6: 24
3
25
x:24= 3:14
3
8:x=
0．6∶4＝2.4∶x 3412x∶45
10∶50＝x∶40
13120169∶ x 解方程
X－ 23
74
2X + 4
36x=543
4.56x=2.2
45:x=18:26 4:3 55
4
8:16=x: 112
6∶x＝110.61.553 12x
111245＝2536∶x x∶11
14＝0.7∶2 1.3∶x＝5.2∶20 x∶3.6＝6∶18 4.60.2＝8x3x8＝64 2535 70%X + 20%X = 3.6
X×=20× 25% + 10X = X - 15%X = 68
X＋X＝121 5X－3×3
5521
＝ X÷＝12 3
51445
8
6X＋5 =13.4 X÷2
=77
16 X
125÷X=310 X÷
635=261345
×253210X－21×3=4 6X＋5 =13.4 5X=
1519 23X÷14=12 X÷626
1335=45
÷25 X-0.25=4+0.7X=102 X-38X=400 X-0.125X=8 X+37 X=18 Xx×2+1=4×33
2
8
21
73434X1438 3X=3
8
＋78X=34 4X－6×2
3
=2 325815 X = 72 9 X = 6×1651 x－3 ×9 = 29 12x + 1
6x = 4
x1
4
x20 2(x2.6)8 2513 X=3
10
χ－6＝38
8
21X=441515 X÷5=28 32585X=72 9X=1166×51
14 X4=30%
23X+11
2X=42 X+4
X=105
36
X
= 34
×( 16 + 38 )=1312－0.375x=56 －37
X＝12 5 X－2.4×5＝8
4 X
3321
0.36×5- x = (x- 4.5) = 7 x- 25%x = 10
45324
x- 0.8x = 16+6 20 x– 8.5= 1.5 x- x -4= 21
53823
X＋25%X=90 X－ X= － X=
2X + 235525% + 10X = 45 X - 15%X = 68 X5X－3×5521
＝7 34X13
48 3X=X＋738X=4 4X3255 X = 72 4x－3 ×9 = 29 x1
4
x20 25133 X=108
421X=15 X3255X=72 X-0.25=14 23X+12X=42 X+X-0.125X=8 X×( 131368127923X÷1
4＝12 6X38 X－6×2
3
=2 819 X = 6×1651 X12x + 16x = 4 2(x2.6)8 6Xχ－6＝38 5X=÷45=1528 89X=1166×51 XX
4
=30% 4+0.7X=102
14X=105 X-36
X
= 34 X+－0.375x=56 x74×31
5=20×4
＋3
8X＝121
＋5 =13.4
÷27=716
1235 ÷X=10÷ 635=2613
45
×2532
10X－21×3
=4
＋5 =13.4 15
19
23X÷14=12 ÷626
1335=45
÷25 3
8
X=400 37 X=18
×23+13
2=4×8
x
333
X－X＝12 5 X－2.4×5＝8 0.36×5- 45721
x- 25%x = 10 X＋25%X=90 324
x- 0.8x = 16+6 20 x– 8.5= 1.5 x- x -4= 21
X－37 X= 8970%X + 20%X = 3.6
X - 15%X = 68
314X43
8 3X= X÷2=77
16 X
125÷X=310X÷
635=261345
×25 4310X－21×23=4 6X＋5 =13.4 5X=
1519 213X÷4=12 X÷61335=26
45
÷25 X-0.25=5X－ 273
234 2X + 5 = 5X×3
=20×1 25% + 10X = 45
4
5
X＋3
X＝121 5X－3×58
21
＝5
7 38
＋78X=34 4X－6×2
3
=2 35 X = 2572 81169 X = 6×51
x－3 ×9 = 29 11
2x + 6x = 4
x1
4
x20 2(x2.6)8 25 X-133
10
4χ－6＝38
8
441521X=15 X÷5=28 35X=2572 89X=16×1651
14 X4=30%
4+0.7X=102 X+X=42 X+X=105 X-X=400 X-0.125X=8
38
336
=
4X
2
31214
313135X+ X=18 X×－0.375x= 768126x×+=4× X－X＝12 5 X－2.4×5＝8 21333
2
8
0.36×5- 34 x = 35 x- 0.8x = 16+6 20 x
7
23– 8.5= 1.5 1
2x- 4
5 x -4= 21
方程解决问题教学案例《方程》教学案例
教学片断：
一、揭示课题
师：今天老师要给大家介绍一个新朋友，请看大屏幕，让我们一起读出它的名字，好吗？（板书：方程） 这节课就让我们一起来深入了解一下这位朋友吧
二、创设情境，感知平衡
师：老师听说咱们五年级的学生课外活动特别的丰富，那么大家玩过跷跷板吧？
生：玩过。（出示简易跷跷板图）
师：如果现在老师和你们玩，老师坐在右边，小明同学坐在左边，大家想想会出现什么情况呢？
生：跷跷板朝向右边，因为老师重
师：现在小明走了，让老师坐在左边，又会出现怎样的情况呢？
生：老师重，跷跷板他那头朝下。
师：同学们真会思考，在游戏中也有数学知识。通过玩跷跷板可以比较轻重。那现在任老师坐在左边，我还坐在右边，结果跷跷板平衡了，说明了什么？
生：说明一样重了
师：你能用数学语言叙述一下吗？
生：任老师的体重=张老师的体重
师：大家真聪明，我们人类很早就受跷跷板的启发，发明了称物体的天平。
出示天平
老师这里有一个天平，大家请看天平的变化（让学生体验平衡与不平衡）
师：天平两边平衡了，说明什么呢？
生：天平两边的物体一样重
师：真聪明！你能开动脑筋想想，如果用你学过的一个数学符号表示这种情况，你会用什么呢？
生：等于号（=）。
三、发现体会方程
1.请同学们仔细阅读课本第88、89页，回答下面的问题（“设问导读”1题）
出示幻灯片天平图
学生独立完成，然后小组交流
师：天平平衡说明什么
生：说明天平左右两边的物体一样重
师：如果用x表示樱桃的质量，你能根据天平列个式子吗？ 生：x+5=10
师：像这样的式子我们叫它等式
2.认识月饼图
师:像这样的式子还有很多，请看图片（出示月饼图）从
图中你知道了那些数学信息？
生自由回答
四人一大组讨论完成“设问导读”第2题
每组代表汇报，集体交流
3.出示水瓶图
师：大家表现的很棒，现在请大家继续发挥你的聪明才智，我们一起来向高难度挑战，有没有信心？
生：有
师：同学们在家里帮爸爸妈妈倒过水吗？老师在倒水的过程中发现了一个较复杂的现象，请看幻灯片（出示幻灯片） 四人一组讨论，这个题中的等量关系是什么？完成“设问导读”第3题
四、认识方程
请同学们两人一小组说一说我们刚才列的几个式子有什么共同特点？如果要给他们起个名字的话，应该叫什么呢？
生：含有未知数的等式叫做方程
师：方程（板书）在我们国家有着悠久的历史，请看资料（出示幻灯片）。看了这个资料，你有什么感受？
生谈感受
师：我们应该从小就热爱学习，将来把我们的祖国建设的更美好
师：既然方程在我们国家有这么悠久的历史，那老师要考考大家，看你是不是真的认识它了
五、通过多样练习，认识方程
1.认方程
“巩固练习”第一题
2.看图写方程
出示幻灯片和巩固练习第二题
3.根据方程编故事
出示幻灯片
4.方程与等式
拓展练习
六、 总结
师：今天我们认识了方程，交了这个朋友，其实方程还有很多有趣的内容，相信同学们还会以饱满的精神、积极的态度去研究、去探索方程的奥秘。
七、板书：
方程（含有未知数的等式）
平衡---左边=右边
X+5=10
4y=380
2z+200=2000
课后评析：
1．案例评析：
设计本节课时我的想法是着重体现“让学生学习生活化的数学”的理念，希望从学生的现实生活出发，通过师生之间、生生之间的互动，实现师生双方的共同发展。本节课的教学目标是建立“方程”的概念，而方程是刻画现实世界中相等关系的模型。学习的重点是能根据具体问题中的等量关系，列出方程。在教学设计中，我从同学们喜欢的游戏入手，让学生发现跷跷板的原理，进而介绍天平，并引入方程，且根据课本例题设置多方面的问题情境，使学生通过对多个实例的讨论，发现了方程能刻画现实生活中的很多问题，从而体会到方程的作用，并产生积极的学习愿望。这对于学生学习方程起了重要的作用。本节课我分四部分进行:
一、借助生活经验，感悟等量关系
1．从跷跷板感受平衡
师：大家都玩过跷跷板吧？这儿有一个简易的跷跷板（展示图）现在老师坐在左边，小明同学坐在右边，会出现什么情况？我坐在左边，请数学张老师坐到右边，会出现什么情况？接下来，我还坐在左边，让英语老师坐右边，结果跷跷板平衡了，说明了什么？
设计意图是从学生熟悉的游戏引入，既让学生深刻体会到了“平衡”，又能较好的激发学生学习兴趣。
2．从天平感受等量关系
师：人类很早就根据跷跷板的原理发明了天平，出示天平实物，并放东西让学生感知“平衡”与“不平衡”。进一步理解“天平平衡说明了什么？”
设计意图是让学生根据天平体会等式。
二、发现体会方程
（一）具体情景中感受方程
通过书中的四幅直观图，分析等量关系，并列方程。以小组讨论的形式进行，既能培养学生的合作意识又能有效地解决问题。
设计意图是放手让学生经历分析数量关系——寻找等量关系——建立方程的过程。
（二）总结抽象，认识方程
同学们讨论三幅图中算式的共同特点，引入方程的概念，并通过资料简单介绍方程。
设计意图是，认识方程，并了解方程的历史，增强学生的民族自豪感，进行思想教育。
（三）及时练习，辨析方程
这一环节我通过让学生“写方程”和“编故事”两种形式强化学生对方程的认识。
教学反思：
由于初次接触五年级学生，上课参与课堂的积极性不够高。所以在本节课的设计中，我从以下几方面进行并起到了
一定的效果：
首先，用跷跷板引入天平，激发学生的兴趣，并能感知跷跷板和天平的同一原理，为方程的引入埋下了伏笔。
其次，利用天平这个直观教具，形象地说明等式的含义，从而让学生能根据天平列出等式，进而根据等式列出方程，本节课中学生对等式的理解较快，激发了学生进一步学习方程的兴趣。
再次，在本节课小组活动中，学生的小组合作能力得到了充分的发挥，小组讨论的效果较明显，学生学习本节内容相对较轻松。
最后，我通过设计“列方程、编故事”等不同的形式让学生学会用方程来表示生活中的实际问题，并体会到方程的作用，为以后运用方程解决实际问题打下坚实基础。
本节课的教学中，正确的分析等量关系是列出方程的关键，大部分学生均能独立完成，个别学生还需要小组的力量，这样也看到了小组的合作意识。通过本节课的教学，我充分体会到了“学案式”教学的优势所在。
Matlab求解超定方程组实例Matlab求解超定方程组实例
对于超定方程组，特别是非线性方程组，可以用Matlab基于最小二乘算法来进行求解，例如，求解下列方程组：
一个三个未知数，九个方程的非线性方程组：
cos(x3)*sin(x2)*sin(x1)-sin(x3)*cos(x1)=-0.9944 ;
sin(x3)*sin(x2)*sin(x1)+cos(x3)*cos(x1)=-0.0870;
cos(x2)*sin(x1)=-0.0606;
cos(x3)*sin(x2)*cos(x1)+sin(x3)*sin(x1)=0.0349;
sin(x3)*sin(x2)*cos(x1)-cos(x3)*sin(x1)=-0.8085;
cos(x2)*cos(x1)=0.5875;
os(x3)*cos(x2)=-0.1001;
sin(x3)*cos(x2)=0.5821;
-sin(x2)=0.8070;
代码
% By lyqmath
function main()
clc; clear all; close all;
% cos(x3)*sin(x2)*sin(x1)-sin(x3)*cos(x1)=-0.9944 ;
% sin(x3)*sin(x2)*sin(x1)+cos(x3)*cos(x1)=-0.0870;
% cos(x2)*sin(x1)=-0.0606;
% cos(x3)*sin(x2)*cos(x1)+sin(x3)*sin(x1)=0.0349;
% sin(x3)*sin(x2)*cos(x1)-cos(x3)*sin(x1)=-0.8085;
% cos(x2)*cos(x1)=0.5875;
% os(x3)*cos(x2)=-0.1001;
% sin(x3)*cos(x2)=0.5821;
% -sin(x2)=0.8070;
x0 = [0.3 0.4 0.5]
[x, resnorm] = lsqnonlin(@test_fun, x0)
F = test_fun(x)
function F = test_fun(x)
x1 = x(1); x2 = x(2); x3 = x(3);
F(1) = cos(x3)*sin(x2)*sin(x1)-sin(x3)*cos(x1)+0.9944 ;
F(2) = sin(x3)*sin(x2)*sin(x1)+cos(x3)*cos(x1)+0.0870;
F(3) = cos(x2)*sin(x1)+0.0606;
F(4) = cos(x3)*sin(x2)*cos(x1)+sin(x3)*sin(x1)-0.0349;
F(5) = sin(x3)*sin(x2)*cos(x1)-cos(x3)*sin(x1)+0.8085;
F(6) = cos(x2)*cos(x1)-0.5875;
F(7) = cos(x3)*cos(x2)+0.1001;
F(8) = sin(x3)*cos(x2)-0.5821;
F(9) = -sin(x2)-0.8070;
结果
x0 =
0.3000 0.4000 0.5000
Local minimum found.
Optimization completed because the size of the gradient is less than the default value of the function tolerance.
x =
-0.1028 -0.9390 1.7411
resnorm =
5.4490e-009
F =
1.0e-004 *
Columns 1 through 7
0.3522 0.1842 -0.0442 0.1487 0.2260 -0.0936 0.0183
Columns 8 through 9
-0.3600 -0.4160
可以发现，误差在1.0e-004级别，还是可以接受的。
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